방정식(일차방정식/연립방정식/해의 종류/연립방정식푸는방법)

1. 일차방정식(Linear Equation)이란?

일차방정식은 미지수가 포함된 방정식 중에서 미지수의 최고 차수가 1인 방정식입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태를 가집니다:

• x는 미지수 (변수)
• a는 계수, b는 상수입니다.
• 일차방정식은 직선의 방정식과 동일합니다. 좌표 평면에서 일차방정식은 직선을 나타냅니다.

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2. 연립방정식(System of Equations)이란?

연립방정식은 여러 개의 방정식이 함께 주어졌을 때, 모든 방정식을 동시에 만족시키는 해를 찾는 문제입니다. 예를 들어, 두 개의 일차방정식을 함께 풀어야 하는 경우, 두 직선의 교점을 찾는 문제로 해석할 수 있습니다.

연립 일차 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다:

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여기서 x와 y는 미지수  a1, a2, b1, b2, c1, c2는 주어진 상수입니다.

 

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3. 해의 종류

연립 일차 방정식은 일반적으로 세 가지 해를 가집니다.

1) 유일해 (Unique Solution)

• 두 방정식이 직선 두 개로 표현되었을 때, 서로 교차하는 한 점이 있을 경우, 이 점이 유일한 해가 됩니다.
• 해가 존재하고 유일할 때, 우리는 "유일해"를 가진다고 말합니다.
• 위 방정식은 x와 y의 유일한 값을 가집니다.

2) 무수히 많은 해 (Infinite Solutions) = 부정(不定)

• 두 방정식이 서로 같은 직선을 나타낼 경우, 모든 점이 해가 됩니다. 즉, 무수히 많은 해를 가집니다.
• 두 방정식이 같은 방정식의 변형인 경우, 두 직선은 겹치며 무한히 많은 해가 있습니다.
• 두 번째 방정식은 첫 번째 방정식을 두 배한 것과 동일합니다. 이 경우, 무수히 많은 해가 존재합니다.

3) 해가 없음 (No Solution) = 불능(不能)

• 두 직선이 평행할 경우, 서로 교차하지 않기 때문에 해가 없습니다.
• 방정식들이 모순된 조건을 나타낼 때 해가 존재하지 않습니다.
• 두 직선은 서로 평행하므로 교차점이 없고, 해가 존재하지 않습니다.

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4. 연립방정식을 푸는 방법

연립 일차 방정식을 푸는 대표적인 세 가지 방법입니다.

1) 대입법 (Substitution Method)

대입법은 한 방정식에서 하나의 미지수를 다른 방정식에 대입하여 해를 구하는 방법입니다.

• 한 방정식에서 xxx 또는 yyy를 구한 후, 다른 방정식에 대입합니다.
• 여기서, (2)에서 x=y+1을 구한 후, 이를 (1)에 대입하여 y값을 구하고, 다시 x값을 구합니다.

2) 가감법 (Elimination Method)

가감법은 두 방정식을 더하거나 빼서 하나의 변수를 제거하고, 남은 방정식을 풀어 해를 구하는 방법입니다.

• 각 방정식의 계수를 적절히 조정한 후, 한 변수의 항을 없애고 다른 변수의 값을 구합니다.
• 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식에서 빼면 0=0이 되어 무수히 많은 해가 존재한다는 것을 알 수 있습니다.

3) 행렬을 이용한 풀이 (Matrix Method)

방법은 선형대수에서 중요한 기법으로, 방정식을 행렬 형태로 변환한 후, 행렬 연산을 통해 해를 구합니다.

• 방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같은 형태입니다
• 여기서 A는 계수 행렬, x는 미지수 벡터, b는 상수 벡터입니다.
• 행렬 A의 역행렬을 사용하여 아래와 같이 구함으로써 해를 찾을 수 있습니다.

 

이상 방정식과 관련된 포스팅을 마칩니다.